Daily Summary(37)

4.13_Math

多元函数的极值

1、定理1（必要条件）：

设函数z=f（x，y）在点（x₀，y₀）具有偏导数，且点（x₀，y₀）处有极值，则有f_x（x₀，y₀）=0，f_y（x₀，y₀）=0

2、驻点

• 定义：能使f_x（x₀，y₀）=0，f_y（x₀，y₀）=0同时成立的点
• 注意：
  • 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点
  • 函数的驻点不一定是极值点

3、定理2（充分条件）:

• 设函数z =f(x，y)在点(x₀，y₀)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f_x(x₀，y₀)=0，f_y(x₀，y₀)=0，令
  f_xx(x₀，y₀)=A，f_xy(x₀，y₀)= B，f_yy(x₀，y₀)= C，
• 则f(x ,y)在(x₀，y₀)处是否取得极值的条件如下：
  1. AC – B²>0 时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值
  2. AC – B²<0 时没有极值
  3. AC – B²=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论

*4、具有二阶连续偏导数的函数z = f(x，y)的极值的求法

1. 解方程组f_x（x₀，y₀）=0，f_y（x₀，y₀）=0，求得一切实数解，即可求得一切驻点
2. 对于每一个驻点(x₀，y₀)，求出二阶偏导数的值A、B和C
3. 定出AC – B²的符号，按定理2的结论判定f(x₀，y₀)是不是极值、是极大值还是极小值

5、多元函数的最值

最值可能存在的点：驻点、偏导不存在的点、端点