Daily Summary(18)

3.22_Math

1、矩阵等价

1. 定义：A经过初等变换得到B，A≌B
2. 性质：
   • 反身性：A≌A
   • 对称性：A≌B→B≌A
   • 传递性：A≌B，B≌C→A≌C

2、定理1

任意矩阵可通过初等变换化为标准形，即A≌标准形

3、初等变换

变换形式：
1）交换两行（列）
2）用k(k≠0)乘某一行（列）
3）某一行的L倍加到另一行（列）上去
注意：矩阵变换时，两矩阵用→相连，不可以用=

4、方阵初等变化后行列式值的改变

5、初等矩阵

1. 定义：对E做一次初等变换得到的矩阵
   
2. 性质：
   • A是任意矩阵，用某种初等方阵左乘A，相当于对A实施同种初等行变换（左↔行）
   • A是任意矩阵，用某种初等方阵右乘A，相当于对A实施同种初等列变换（右↔列）
3. 用途：用初等变换进行的操作，可以转化为左乘或右乘相应的初等方阵

6、初等矩阵的逆矩阵和转置

1. 初等方阵的行列式的值
   • |E(i，j)|=-1
   • |E（i(k)）|=k（k≠0）
   • |E（i，j(k)）|=1
     
2. 性质
   1. 初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵
      • E^-1(i，j)=E(i，j)
      • E^-1（i(k)）=E（i(1/k)）
      • E^-1（i，j(k)）=E（i，j(-k)）
   2. 初等方阵的转置也是初等方阵

7、定理2

任意矩阵A，存在初等方阵P₁,P₂…P_s,Q₁,Q₂…Q_t，可以使P_s···P₁·A·Q₁···Q_t为标准形
推论：A≌B↔存在可逆P，Q，使PAQ=B