Daily Summary(26)

3.31_Math

1、线性组合

1. 定义：β，α₁，α₂，······，α_n是n维向量，若存在组合系数k₁，k_2，······，k_n（可全取0），使β=k₁α₁+k₂α₂+······+k_nα_n成立，则称β为α向量组的线性组合，或者β可以用α向量组线性表示。
2. 性质：
   1. 零向量可由任意向量组表示
   2. 向量组中任取一个向量，可由向量组表示
   3. 任意一个向量，可由n维单位向量组ε₁=(1,0,···,0)，ε₂=(0,1,···,0)，······，ε_n=(0,0,···,1)表示
3. 组合系数的求解
   向量的个数=方程变量的个数
   向量的维数=方程的个数、
   
   线性组合⇔方程组有解
   不是组合⇔方程组无解

2、向量组的等价

1. 定义：两个同维向量组可以相互线性表示，记作：{α₁α₂······α_n} ≌ {β₁β₂······β_m}
2. 性质：
   1. 反身性：{α₁α₂······α_n} ≌ {α₁α₂······α_n}
   2. 对称性：{α₁α₂······α_n} ≌ {β₁β₂······β_m}⇔ {β₁β₂······β_m} ≌ {α₁α₂······α_n}
   3. 传递性：{α₁α₂······α_n} ≌ {β₁β₂······β_m}，{β₁β₂······β_m} ≌ {γ₁γ₂······γ_s}⇔{α₁α₂······α_n} ≌ {γ₁γ₂······γ_s}

3、线性相关与线性无关

1. 线性相关定义：α₁，α₂，······，α_n是n个m维向量，若存在一组不全为0的k₁，k₂······，k_n，满足k₁α₁+k₂α₂+······+k_nα_n=0，则α₁，α₂，······，α_n是线性相关
2. 线性无关定义：
   • 定义1：不是线性相关
   • 定义2：α₁，α₂，······，α_n是n个m维向量，若找不到一组不全为0的k₁，k₂······，k_n，满足k₁α₁+k₂α₂+······+k_nα_n=0，则α₁，α₂，······，α_n是线性无关
   • 定义3：若k₁α₁+k₂α₂+······+k_nα_n=0成立，k₁，k₂······，k_n只能全取0
3. 性质：
   1. 向量组两向量成比例⇔线性相关
   2. 含有零向量的向量组⇔线性相关
   3. 一个零向量⇔线性相关
   4. 一个非零向量⇔线性无关
   5. 一个向量α线性相关⇔α为零向量
   6. α₁，α₂，······，α_n线性相关⇔α₁，α₂，······，α_n，α_n+1，······，α_s也是线性相关
      部分组线性相关→整体组线性相关
      整体组线性无关→部分组线性无关