Daily Summary(33)

4.8_Math

1、方向导数（是一个数）

• 定义：函数f(x，y)在点P（x₀，y₀）处沿方向 l 的变化率
• 定理：如果f(x，y)在点P（x₀，y₀）可微分，那么函数在该点任意方向 l 的方向导数存在，且有
  
• 概念间关系：
  • 可微→方向导数存在
  • 偏导数存在→方向导数存在（该方向导数与偏导数的方向在同一直线）
    其余方向的方向导数无法确定是否存在

2、梯度（是一个向量）

• 定义：如果函数f(x，y)在点P（x₀，y₀）可微分，e_l=（cosα，cosβ）是与方向 l 同向的单位向量，那么
  
• 关系：
  • 当θ=0，即方向e_l与梯度grad f(x₀，y₀)的方向相同时，函数f(x，y)增加最快。函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度grad f(x₀，y₀)的模，即
    
    这个结果也表示：函数f(x，y)在一点的梯度grad f是这样一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向,它的模就等于方向导数的最大值
  • 当θ=0，即方向e_l与梯度grad f(x₀，y₀)的方向相反时，函数f(x，y)减少最快。函数在这个方向的方向导数达到最小值，即
    
  • 当θ=π/2，即方向e_l与梯度grad f(x₀，y₀)的方向正交时，函数的变化率为零，即
    

3、等值线

• 定义：空间曲面z=f(x，y)被平面z=c分割为多个空间曲线，这些曲线在xOy面的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为f(x，y)=c，这些平面曲线叫做空间曲面的等值线
  

4、概念间关系

函数f(x，y)在一点(x₀，y₀)的梯度▽f(x，y)的方向就是等值线 f(x，y)=c在这点的法线方向n，而梯度的模l▽f(x₀，y₀)|就是沿这个法线方向的方向导数