Daily Summary(43)

4.21_Math

非齐次线性方程组解的结构

1、导出组

定义：方程组Ax=b对应的齐次线性方程组Ax=0称为方程组Ax=b的导出组

2、定理

1. 非齐次线性方程组的两个解η₁，η₂的差η₁-η₂是对应的导出组的解
2. 设η是非齐次线性方程组的解，ξ是对应导出组的解，则η+ξ是非齐次线性方程组的解
3. 设η*是非齐次线性方程组的任一解，对应的导出组的基础解系为ξ₁，ξ₂，···，ξ_n-r，则非齐次线性方程组的通解为
   x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+···+k_n-rξ_n-r+η*（k₁，k₂，···，k_n-r为任意常数）

3、求非齐次线性方程组的通解

1. 写出增广阵B=(A|b)
2. 对B进行行初等变换，变成（行简化）阶梯阵B，求R(A)，R(B)，并判断非齐次线性方程组是否有解
3. 设R(A)=R(B)=r
   • 若r<n，求对应导出组的基础解系ξ₁，ξ₂，···，ξ_n-r
   • 若r=n，只有唯一解，这时，导出组只有零解
4. 求非齐次线性方程组的一个特解η*，写出通解x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+···+k_n-rξ_n-r+η*（k₁，k₂，···，k_n-r为任意常数）

4、题型

• 设η₁，η₂，···，η_s是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k₁，k₂，···，k_s为实数，满足k₁+k₂+···+k_s=1，则x=k₁η₁+k₂η₂+···+k_sη_s也是它的解
• 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η₁，η₂，···，η_n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解，则它的任一解可以表示为x=k₁η₁+k₂η₂+···+k_n-r+1η_n-r+1（其中k₁+k₂+···+k_n-r+1=1）