Daily Summary(53)

5.2_Math

1、相似矩阵

1. 概念：A，B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A~B
2. 特性：
   1. 反身性：A~A，E^-1AE=B
   2. 对称性：A~B→B~A
   3. 传递性：A~B，B~C=A~C
3. 性质：
   1. A~B，则A，B有相同的特征值，|A|=|B|，tr(A)=tr(B)***
   2. A~B，则A可逆⇔B可逆，A^-1~B^-1
   3. A~B，则A^m~B^m
   4. A~B，则r(A)=r(B)

2、矩阵与对角形相似的条件（P^-1AP=Λ）

定理1：A~Λ ⇔ A有n个线性无关的特征向量
推论：若A有n个互异的特征值，则
定理2：A~Λ ⇔ 对每个r_i特征根，其基础解系有r_i个解，n-r(λ_iE-A)=r_i
eg.五阶方阵A~Λ，有三重根λ₁=λ₂=λ₃=2，(λ_iE-A)x=0的基础解系也是三

3、题型